カオス（Chaos）と決定論・予測不可能性

　日食の起る日時や彗星の次の回帰日時などは，年単位や十年単位という期間にもかかわらず確定でき，百年以上前にあったことでも逆算できます．一方，天気予報は明日でも外れることもありますし，さいころを１個投げた時に出る目は特定できません．この違いは，前者の法則が単純で結果が規則的，後者は複雑で不規則なためと考えられます．カオスの発見（物理学的には 1961 年，数学的には 1975 年）以前は，主にこのように考えられていました．
　しかし，天気予報でも，例え確率的な現象でも，物理学的には何らかの法則に従っていますので，現在の状態（初期条件）から未来を予測することができるはずです．このような考え方を決定論と言います．もちろん現在の状態が正確に特定できればの話で，逆に，現在の状態が不正確（誤差がある）なら，法則が単純でも未来は不確定になると考えられますが，誤差の影響は時間とともに減少する（安定性）のが普通ですので，未来が予測できるのです．地球外の彗星の状態（位置と速度）は，地球上の気象あるいは手元のさいころの状態と比べて，ずっと不正確にしか分らないでしょうね．

　数列の帰納的定義は決定論で，漸化式が法則，初項が初期条件（初期値）となります．例えば，漸化式
　　　x n+1 = 2 x n (1 - x n)　　　… (1)
では，0 < x 1 < 1 のすべての初項 x 1 について，x n は 0.5 に限りなく近づきます（とくに x 1 = 0.5 のときは，すべての x n = 0.5．不動点）．３桁程度で近似計算しても問題はありません（安定性）．係数の 2 を 0.5 や 3.3, 3.5, 3.83 にも変更して実際に計算してみてください．
　カオスが起ると現在の状態の誤差が短時間で拡大し（初期条件に対する鋭敏な依存性），実際上，決定論でも未来は予測不可能となります．また，法則が単純でも複雑・不規則な現象が観測されます．精密に調べると太陽系の天体運動にもカオスは潜んでいますが，日食程度ではカオスは問題にならないので予測可能です．気象にカオスが起れば，明日の予報が当たっても（短期間でしたらある程度の誤差で予測可能），週間予報は外れてもしかたのないことになりますが，天気予報が外れるのは，カオスが原因というよりも，複雑な法則を正確に解くことができないのが主因と考えられます（正確なところは分っていないと思います）．カオスと言えども決定論なので数学的には予測可能ですが，実際の物理現象では必ず初期条件自体に誤差が含まれますので，カオスが起ると長期的には予測不可能となります．
　カオスの例として有名な（式 (1) とは係数が異なるだけの単純な法則）
　　　x n+1 = 4 x n (1 - x n)　　　… (2)
は，0 < x 1 < 1 のほとんどすべて（有理数では x 1≠1/4, 1/2, 3/4）の初項 x 1 について，x 1 が少しでも異なると数列 {x n}（必ず 0 < x n < 1 になる）はまったく異なります（予測不可能）．同じことですが，計算の桁数を（５桁以上で）変えると，{x n} は途中からまったく異なります．実際に計算してみてください．

• カオスは「決定論を否定する」とか，「決定論（的な系）に現われる確率的な現象」というのは誤解（を生む表現）です．また，式 (2) で，同じ初期値 x 1 と同じ（ディジタル）計算機を使っても「計算するたびに x n の値が異なる」ということはありません．なお，さいころ投げのような確率系も決定論ですが，実際上予測不可能となる原因はカオスが起るからではありません．
• 式 (2) で，0 < x n < 0.5 のとき表，0.5 < x n < 1 のとき裏として，硬貨を無限回投げる任意の試行結果に数列 {x n} が一致するようにできます（そのような初期値 x 1 が必ずあります）．それほど数列 {x n} は不規則です．（下方の解説参照）
• 式 (2) の一般項を求めることができ，x n = sin 2 (2 n k)（k は sin 2 (2 k) = x 1）と表せます．
• 式 (2) で x 1 = 1/8 とすると，x 4 < x 1 < x 2 < x 3 となって，Li-Yorke（リー・ヨーク）の定理の条件（カオスになるための十分条件）を満たし，式 (2) の力学系は Li-Yorke の意味（定義）でカオス的になります．すなわち，初期値を変えれば，任意の周期をもつ数列を生成でき，また，非周期的（どんな周期ももたない）数列も生成できます．
• 式 (1), (2) をロジスティック（logistic）方程式と言いますが，もともとは微分方程式（数学的に解ける）をオイラー（Euler）法で離散化（差分方程式）したものです．つまり，コンピュータ（計算機）で数値的な近似解を求めるため，dx/dt を (x n+1 - x n)/h で置き換えたもので（x n = x(t), x n+1 = x(t + h), t = n h．極限 h → 0 で両者は一致…導関数の定義），定数 h は十分小さい値でなければなりません．式 (1), (2) の係数（2 と 4）はこの h に関係しています．式 (1) の例は h が十分小さい場合に対応していて，もとの微分方程式の解を近似していますが，式 (2) の例は h が小さくない場合です．なお，もとの微分方程式の解のグラフ（(t, x(t))，式 (1) では (n, x n)）をロジスティック曲線と言います．
• 京都大学名誉教授上田先生の研究（1961 年）をカオス現象の物理学的発見としました．ロジスティック方程式関係の記述は山口昌哉京都大学名誉教授の著書を参考にしました．
• 上述の「天気予報が外れるのは，カオスが原因というよりも，…（正確なところは分っていないと思います）」に関して，「気象現象は典型的なカオス」「天気はカオス」などと書いているサイトが多い中で，「現実の気象のダイナミクスがカオスかどうかは、結論がでていない」と合原一幸東京大学教授が書かれていることを見つけました（7/20/07）．

　カオスと確率に関しては、下記のような説明でよいのではないでしょうか。
「確率的な現象は当然予測不可能であり、多様なパターンが生成されるので、複雑なものになりますが、逆に（実際上）予測不可能で複雑なら確率的かというと、そうではありません。（実際上）予測不可能で複雑ですが、確率的要素の全くない規則で生成されるものがあります。その典型がカオスです。」
　カオスの発見によって「決定論と確率論の境界があいまいになった」のではなく，「ランダムと確率の区別を明確にしなければならなくなった」，つまり，「決定論的なシステムが確率的なものを生成できる」のではなく，「ランダムなものが決定論的なシステムから生成される」ということがわかったというのがカオス発見の意義の一つでしょう．