音階の数理

　純正律音階と１２平均律音階について数理的観点から解説する．いずれの音階でも完全８度の２音（オクターブ）の周波数（１秒間の振動数）比は 1 : 2 であり，純正律音階では完全５度の２音の周波数比を 2 : 3（= 1 : 3/2，例えばソの周波数はドの周波数の 3/2 倍）とする．完全５度の２音で下の方の音（例えばドの下のファ）を完全８度上げると完全４度になるから，純正律音階の完全４度は 3 : 4 となる．一般に周波数比が単純なものほどよく協和する．

純正律音階

　完全８度，完全５度，長３度で構成する．長３度（例えばドとミ）の周波数比は 4 : 5 で，Ｃ（ド）の倍音列（一般に周期波形はその基本周波数の自然数倍の周波数を持つ正弦波の合成になっている）にこれらの周波数比を当てはめると，

となる（Ｂは英米）．Ｇ₁ とＣ₂ は完全４度で，その周波数比は 3 : 4，短３度はＥ₂ とＧ₂ から 5 : 6，長６度は 3 : 5 などとなる．長２度はＣ₃ とＤ₃ から 8 : 9（大全音），Ｄ₃ とＥ₃ から 9 : 10（小全音）の２通りあり，短７度も 5 : 9 と 9 : 16 の２通りある（後者が完全８度に対する大全音に対応）．私はポピュラー音楽好きの工学者なので，純正律音階に変化記号の付く音程も含めるのかどうかは知らないが，それらも含めてまとめると，純正律音階の周波数比は次のようになる．

　比の一方が５の倍数になっているものは長３度に由来し，そうでないものは完全５度（と完全８度）だけで構成されているが，この２系列があるので，大全音と小全音が生じる．他にも例えば，第 27 倍音はＡ₄，第 81 倍音はＥ₆ になるので，短３度が 27 : 32，長６度が 16 : 27，長３度が 64 : 81 となってしまう（81/64 と 5/4 の比 81 : 80 を syntonic comma と言う）．これらは完全５度だけの（長３度を用いない）列からなり，Pythagoras（ピタゴラス）音階と言われる．完全５度の列を続けると，Ｂ₇ (より Ｂ は 243/128)，Ｆ＃₉，Ｃ＃₁₁，Ｇ＃₁₂，Ｄ＃₁₄，Ａ＃₁₅，Ｅ＃₁₇ (F₁₇)，Ｂ＃₁₈ (C₁₉) となって，第 3¹² 倍音でＣに戻るが，Ｃ₁₉/2¹⁹ = 1.01364 … と若干高くなってしまう（3¹² : 2¹⁹ を Pythagorean comma と言う）．
　長３和音の構成音の周波数比は C : E : G = 4 : 5 : 6 = F : A : C であるが，G : B : D = 4 : 5 : 6 となるのは大全音のときである（小全音のときは 108 : 135 : 160）．短３和音では E : G : B = 10 : 12 : 15 = A : C : E であるが，大全音のときは D : F : A = 27 : 32 : 40 となってしまい，10 : 12 : 15 になるのは小全音のときである．Key Cm では，主要３和音の構成音の周波数比がすべて 10 : 12 : 15 になるのは，大全音と短７度の（完全８度に対して）小全音である．また，同じ全音でも，ＦとＧの間やＡとＢの間の比は 8 : 9，ＧとＡの間の比は 9 : 10 と異なり，大全音の純正律に調律したピアノで Key C の曲を Key G に移調して演奏すると，少なくとも長２度（Ｇに対してＡ）の音程が変わってしまう．
　小全音と短７度の（完全８度に対して）大全音（Key Cm とは逆の組合せ），増４度を用いて，音名Ａの周波数を基準として書き改めると，

となる．変化記号の付かない音程は Key Cm と一致しているが，音楽の専門家でない私は，変化記号の付く音程，とくにＦ＃とＧ＃が純正律の旋律的短音階や和声的短音階として正しいかどうかは知らない．

１２平均律音階

　移調を可能にするには，すべての半音の比を同じ値 r (> 0) にすればよく，半音毎の周波数の数列は公比 r の等比数列になり，オクターブは 12 音あるから，r ¹² = 2 より r =¹²√2 = 1.059463094 …．長３度は r ⁴，完全５度は r ⁷ などとなり（すべて無理数），１２平均律音階の周波数比は次のようになる．

　最下段は (純正律の cent) - (平均律の cent) = 1200 log₂ (純正律の周波数比/平均律の周波数比) を示した（"cent" とは完全８度を 1200 とする音程の単位で，平均律では半音が 100 cents，全音が 200 cents になる）．工学者は "cent" より "Hz" の世界なので，完全１度（Ｃ）の周波数が 264 [Hz] のとき，純正律の長３度の周波数は 330 [Hz]，純正律の長６度の周波数は 440 [Hz] となるが，平均律の長３度は約 2.62 [Hz] 高く，平均律の長６度は約 3.99 [Hz] 高くなる．完全４度・完全５度では平均律と純正律の差は約 ±0.5 [Hz] 未満である．

純正律と平均律の違いの視覚化

　Ａの周波数が 440 [Hz] のとき，純正律のＣの周波数は 264 [Hz]，純正律のＥの周波数は 330 [Hz] となる．図１の左下の波形（通常のグラフを時計回りに 90° 回転していて，縦軸が時間，横軸は振幅）はＣで，時間は上端が 0 [s]，下端が 1/66 [s] である（ちょうど４周期分で，周波数の逆数が周期だから 4/264 = 1/66）．図１の右上の波形はＥで，時間は左端が 0 [s]，右端が 1/66 [s] である（5/330 = 1/66）．図１の左上はＣの振幅を x（横軸），同時刻のＥの振幅を y（縦軸）として描いてある（リサージュ）．図１の右下は 1 [s] まで描いてあるが，周波数比が自然数だから点 (x, y) は同じ軌跡上を動く．

図１：純正律の長３度		図２は平均律のＣ（261.625 … [Hz]）と平均律のＥ（329.627 … [Hz]）のリサージュで，左図は 1/66 [s] まで，右図は 3/66 [s] まで描いてある（Ａの周波数は 440 [Hz]）．点は中央（時刻 0 [s] の振幅はＣもＥも 0）より右上に動き，Ｃの周波数がＥの周波数（純正律とほぼ同じ）の 4/5 より低い（逆数の周期は長い）ので左の図では中央の少し左で止まっていて，時間が進むにしたがって右図のように少しずつ異なる軌跡を描く．周波数比が無理数だから決して同じ軌跡に戻ることはなく，点は正方形の領域全体を埋め尽くす（真っ黒の正方形になる）． 　図３は平均律のＣと平均律のＧ（391.995 … [Hz]）のリサージュである．図２と同じ時間描いてあるから左図のＣ（横軸）は図２左と同じ点で終っていて，周波数比はほぼ C : G = 2 : 3 であるからＣの２周期とＧの３周期がほぼ同じ時間になり，その時間の曲線とそれに続く曲線（Ｃは４周期弱，Ｇは６周期弱描かれている）がほぼ重なっている．
		図２：平均律の長３度		図３：平均律の完全５度

Guitar の harmonics (ハーモニックス)

　弦の長さを変えたとき（太さや張力などは同じ），弦の長さの比の逆数が周波数比になる．例えば完全５度の周波数比は純正律で 3/2 であるから，Guitar の 7th fret とブリッジの間の長さは開放弦の長さの（ほぼ）2/3 になっている．開放弦の基本振動では，両端の点は振動しない節，中央の点は振幅が最大となる腹になる．中央の点（ほぼ 12th fret）も節となるように分割振動をさせると（開放弦を４等分した３点が順に腹，節，腹になる），弦の長さが等価的に 1/2 の振動となり，１オクターブ上の音程の harmonics が鳴る．開放弦の長さの 1/3, 1/4, 1/5, … の点で分割振動をさせると，それぞれの長さに対応した音程の harmonics が鳴る．例えば 7th fret とナットの間の長さは開放弦の長さの（ほぼ）1/3 であるから（節は開放弦を３等分した２点），7th fret で鳴らす harmonics は第３倍音に対応した１オクターブと完全５度上の音程になる．「ほぼ」を３箇所に付けたのは，ブリッジが fret と平行でないため fret とブリッジの長さが弦によって異なるからである．さらに Guitar は平均律の楽器であり，純正律の長３度は平均律よりかなり低いので，第５倍音の harmonics の節は 4th fret よりかなりナット側にある（「ほぼ」を付けたもうひとつの理由）．各弦の harmonics の音名は

となる．ここで，fret の後の文字 N は実際の節がナット側，B はブリッジ側にあることを意味し（ブリッジの fret に対する傾斜は考慮していない），それぞれの小文字はその差がわずかであることを意味している．9N の harmonics は 4N と同じ音名になる．第７倍音以上も考えられるが（例えば第８倍音は 8B），うまく鳴らすのは難しい．なお，第７倍音は一般に用いられないそうであるが，増４度に近い 7/5 に対応する点が 6N にある．
　harmonics は純正律に基づいているので，5n と 12 の harmonics は平均律と同じ音程であるが，完全５度に対応する 7b と 3B は平均律より少し高く，長３度に対応する 4N はかなり低い．harmonics を利用して平均律の楽器である Guitar をチューニングしても正しく合わせられない．とくに３弦 4N の harmonics に２弦 5n の harmonics を合わせるのが問題となる．実際，電子式チューナ（平均律）で各弦を個別に合わせると，３弦 4N と２弦 5n の harmonics は合っていない．また，7b の harmonics を使う曲（有名どころでは「２？才の別れ」）も，わずかではあるが音程の問題があることになる（もっとも Guitar は構造上の問題でもっと合わない楽器ではあるが）．